Matematická gramotnost

pondělí 24. ledna 2011 · 1 komentářů

Další kapitola z příručky pro učitele „Gramotnosti ve vzdělávání“, kterou vydal Výzkumný ústav pedagogický v Praze koncem roku 2010.


Kapitolu o čtenářské gramotnosti si můžete přečíst ZDE, o přírodovědné gramotnosti ZDE.



Úvod

"Hluboce si vážím matematiky, neboť ti, kdož jsou obeznámení, v ní vidí prostředek k chápání všeho existujícího.“ (Bháskara)

Jsou pojmy, se kterými se velmi často setkáváme, intuitivně jim rozumíme, avšak při jejich přesném vymezování pojmu se ukáže, že to není tak jednoduché. Mezi takové pojmy patří i matematická gramotnost, a přitom právě s tímto pojmem se v poslední době často setkáváte ve sdělovacích prostředcích. Důvodem jsou (zjednodušeně řečeno) nepříliš dobré výsledky našich žáků v posledních mezinárodních výzkumech matematické gramotnosti PISA a TIMSS. Novináři většinou pokládají jednoduchou otázku „Čím by se školy měly zabývat, aby došlo ke zlepšení matematické gramotnosti našich žáků?“ a očekávají stejně jednoduchou odpověď.

Rozvoj matematické gramotnosti žáků však ovlivňuje mnoho faktorů. Zeptali jsme se učitelů, jak tento nelehký úkol řeší:
„Žáci mají větší zájem o učební látku, která je úzce spjata s reálným světem, než o učivo, které je naprosto od reálu odtrženo. Preferují smysluplný obsah ze světa, který znají, kde mohou využít své dosavadní zkušenosti.“
„Žáci raději přicházejí k poznatkům vlastním poznáváním a k tomu musí mít prostor.“
„Pomocí různých pomůcek a výpočetní techniky můžu ukázat žákům zajímavé propojení matematiky s reálným světem.“
„K pěstování matematické gramotnosti patří i rozvíjení představ a poznávání různých způsobů vyjadřování.“
„Při hodnocení žáků často používám kromě známek i slovní hodnocení.“
„Moji žáci rádi řeší netradiční zajímavé úlohy.“

Z různosti odpovědí je jasné, že neexistuje jednoznačný návod, jak rozvíjet matematickou gramotnost ve výuce.


Můžeme tedy dát učitelům nějaké doporučení pro rozvíjení matematické gramotnosti žáků?

Použijme slova Františka Kuřiny, která zazněla na celostátní konferenci Jak učit matematice žáky ve věku 11–15 let v říjnu 2009:

„Tak jako neexistuje královská cesta ke geometrii a tak jako nejsou koláče bez práce, matematické kompetence nelze získat bez matematického řemesla, bez porozumění matematice a bez znalostí.

Snažme se učit matematiku s porozuměním, zodpovědně a zajímavě. Snažme se přesvědčit naše žáky, že matematika přispívá k porozumění světu. Snažme se vést žáky k tomu, aby rozpoznali Co je co?, aby viděli, kde jde o podvod a falše a kde o skutečné hodnoty.“


Vymezení pojmu matematická gramotnost

Nejčastěji citovaným vymezením pojmu matematická gramotnost, které je chápáno mnoha odborníky za definici, je vymezení pro mezinárodní výzkum OECD PISA. Pro práci odborného panelu se právě toto vymezení stalo východiskem. Úpravy a doplnění byly provedeny vzhledem k podmínkám českého vzdělávacího systému.

Matematická gramotnost je schopnost jedince poznat a pochopit roli, kterou hraje matematika ve světě, dělat dobře podložené úsudky a proniknout do matematiky tak, aby splňovala jeho životní potřeby jako tvořivého, zainteresovaného a přemýšlivého občana. (1)

Úroveň matematické gramotnosti se projeví, když jsou matematické znalosti a dovednosti používány k vymezení, formulování a řešení problémů z různých oblastí a kontextů a k interpretaci jejich řešení s užitím matematiky. Tyto kontexty sahají od čistě matematických až k takovým, ve kterých není matematický obsah zpočátku zřejmý, a je na řešiteli, aby ho v nich rozpoznal. Je třeba zdůraznit, že uvedené vymezení se netýká pouze matematických znalostí na určité minimální úrovni, ale jde v něm o používání matematiky v celé řadě situací, od každodenních a jednoduchých až po neobvyklé a složité.


Tři složky matematické gramotnosti


 

1. situace a kontexty, do nichž jsou zasazeny problémy, které mají žáci řešit, a aplikovat tak získané vědomosti a dovednosti:

Používání a uplatňování matematiky v rozmanitých situacích (např. osobní, vzdělávací/pracovní, veřejné a vědecké) a kontextech (autentický, hypotetický) je důležitým aspektem matematické gramotnosti.

 

2. kompetence, které se uplatňují při řešení problémů:

Matematické uvažování

Zahrnuje schopnost klást otázky charakteristické pro matematiku („Existuje…?“, „Pokud ano, tak kolik?“, „Jak najdeme…?“), znát možné odpovědi, které matematika na tyto otázky nabízí, rozlišovat příčinu a důsledek, chápat rozsah a omezení daných matematických pojmů a zacházet s nimi.

Matematická argumentace

Zahrnuje schopnost rozlišovat předpoklady a závěry, sledovat a hodnotit řetězce matematických argumentů různého typu, cit pro heuristiku („Co se může nebo nemůže stát a proč?“), schopnost vytvářet a posuzovat matematické argumenty.

Matematická komunikace

Zahrnuje schopnost rozumět písemným i ústním matematickým sdělením a vyjadřovat se jednoznačně a srozumitelně k matematickým otázkám a problémům, a to ústně i písemně.

Modelování

Zahrnuje schopnost porozumět matematickým modelům reálných situací, používat, vytvářet a kriticky je hodnotit; získané výsledky interpretovat a ověřovat jejich platnost v reálném kontextu.

Vymezování problémů a jejich řešení

Zahrnuje schopnost rozpoznat a formulovat matematické problémy a řešit je různými způsoby.

Užívání matematického jazyka

Zahrnuje schopnost rozlišovat různé formy reprezentace matematických objektů a situací, volit formy reprezentace vhodné pro danou situaci a účel; dekódovat a interpretovat symbolický a formální jazyk, chápat jeho vztah k přirozenému jazyku, pracovat s výrazy obsahujícími symboly, používat proměnné a provádět výpočty.

Užívání pomůcek a nástrojů

Zahrnuje znalost různých pomůcek a nástrojů (včetně prostředků výpočetní techniky), které mohou pomoci při matematické činnosti, a dovednost používat je s vědomím hranic jejich možností.



3. matematický obsah tvořený strukturami a pojmy nutnými k formulaci matematické podstaty problémů:

kvantita

význam čísel, různé reprezentace čísel, operace s čísly, představa velikosti čísel, počítání zpaměti, odhady, míra;

prostor a tvar

orientace v prostoru, rovinné a prostorové útvary, jejich metrické a polohové vlastnosti, konstrukce a zobrazování útvarů, geometrická zobrazení;

změna a vztahy

závislost, proměnná, základní typy funkcí, rovnice a nerovnice, ekvivalence, dělitelnost, inkluze; vyjádření vztahů symboly, grafy, tabulkou;

neurčitost

sběr dat, analýza dat, prezentace a znázorňování dat, pravděpodobnost a kombinatorika, vyvozování závěrů.


Následující kapitola čtenáře seznámí s mírou a způsobem začlenění tohoto komplexního vymezení matematické gramotnosti do RVP ZV.


Matematická gramotnost v RVP ZV

Na rozdíl od většiny ostatních gramotností se s pojmem matematická gramotnost v RVP ZV setkáme. Nalezneme ho v charakteristice vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace. Stručně shrnuje skutečnost, že matematické vzdělávání má žákům poskytovat vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě, že je založeno především na aktivních činnostech, které přímo souvisejí s využitím matematiky v reálných situacích.

Rozvoj matematické gramotnosti však není záležitostí jednoho vzdělávacího oboru. Je účelné, aby byly složky matematické gramotnosti rozvíjeny komplexně napříč vzdělávacími obory a podnět k rozvoji matematické gramotnosti byl zachycen ve všech částech RVP ZV, ve kterých je to opodstatněné.

Jak již bylo řečeno, stěžejní potenciál pro rozvoj matematické gramotnosti představuje vzdělávací oblast Matematika a její aplikace. V různé míře se zde objevuje všech sedm kompetencí z vymezeného pojmu matematická gramotnost. Není však dostatečně zdůrazněna matematická komunikace (schopnost rozumět písemným i ústním matematickým sdělením a vyjadřovat se jednoznačně a srozumitelně k matematickým otázkám a problémům, a to ústně i písemně). Přitom vyjadřování a odborná argumentace jsou pro rozvoj matematické gramotnosti velice důležité. Jedná se především o analýzy dat, diskuze řešení úloh a vyvozování závěrů. Nedostatečné je i začlenění obsahu složky neurčitost, omezuje se jen na práci s daty. Základ pravděpodobnosti v RVP ZV úplně chybí. Situace a kontexty vymezené v pojmu matematická gramotnost prolínají celou vzdělávací oblastí Matematika a její aplikace v dostatečné míře.

Vzhledem k často komentovaným neuspokojivým výsledkům našich žáků v mezinárodním výzkumu TIMSS je nutné konstatovat, že zlomky a desetinná čísla jsou zařazeny mezi očekávané výstupy až na druhém stupni základního vzdělávání. V testových úlohách se však s touto problematikou mohou setkat žáci čtvrtých a pátých ročníků. Je ke zvážení, zda na první stupeň zařadit základy či propedeutiku těchto pojmů přímo do očekávaných výstupů pro 2. období prvního stupně ZŠ.

V rámci Informačních a komunikačních technologií, především při práci s textovými, grafickými a tabulkovými editory, je dostatečný prostor pro rozvoj matematické gramotnosti. Je potěšující, že informační a komunikační technologie jsou v poslední době stále častěji využívanou pomůckou při výuce matematiky.

Ve vzdělávací oblasti Člověk a jeho svět je souvislost s matematikou a matematickou gramotností evidentní. Kompetence k užívání matematického jazyka a příslušných pomůcek či nástrojů se v rámci této vzdělávací oblasti rozvíjí např. při práci s různými reprezentacemi dat, při používání náčrtků, plánků a map.

Ve vzdělávací oblasti Člověk a společnost se matematická gramotnost explicitně objevuje v pasážích týkajících se hospodaření s penězi (půjčky, úroky, rozpočet) jako odraz úzké souvislosti matematické gramotnosti s gramotností finanční.

Ve vzdělávací oblasti Člověk a příroda žáci používají matematický popis jednoduchých modelů reality; zkoumání a experimentování vede žáky k formulování otázek a hledání odpovědí na ně, užívání analýzy a syntézy jako metody řešení složitějších problémů, formulování jednoduchých hypotéz a jejich ověřování. Vhodně zadané úlohy mohou vést žáky k řešení problémových situací s přírodovědnou tematikou s využitím matematických znalostí a dovedností.

Z průřezových témat nabízí k rozvoji matematické gramotnosti prostor především Environmentální výchova a Mediální výchova. Jedná se o schopnost žáka orientovat se v datech uváděných v různých grafech, tabulkách, rozumět těmto sdělením, správně je interpretovat a kriticky hodnotit. Ve shodě s požadavky současné společnosti je třeba zdůraznit kritický postoj k interpretacím statistických sdělení, poukázat na záměrné nekorektní zneužívání výsledků statistických průzkumů a manipulaci v reklamách (například nabídky „výhodných“ půjček).

V závěru lze konstatovat, že vymezený pojem matematická gramotnost je ve vzdělávacích oblastech zachycen ve všech třech složkách dostatečně. V obecné rovině klíčových kompetencí je také zahrnuto vše, co s rozvíjením matematické gramotnosti ve větší (např. kompetence k řešení problémů, kompetence komunikativní) nebo menší (např. kompetence sociální a personální, kompetence občanské) míře souvisí a co mohou žáci v praktickém životě využít.


Inspirace pro výuku

Pro rozvíjení matematické gramotnosti ve výuce lze využít úloh, které se v minulých letech objevily v mezinárodních výzkumech TIMSS (vybrané úlohy jsou pro žáky 4. ročníku ZŠ) a PISA (vybrané úlohy jsou pro žáky 9. ročníku ZŠ a odpovídajících ročníků víceletých gymnázií). Ilustrativní úlohy byly vybrány tak, aby jejich kontexty sahaly od čistě matematických (Úloha 1 – TIMSS) až k takovým, ve kterých není matematický obsah zpočátku zřejmý a je na řešiteli, aby ho v nich rozpoznal (Úloha 4 – PISA). Matematické znalosti jsou v těchto úlohách používány k řešení problémů z různých oblastí, proto je u jednotlivých úloh uvedena situace, kontext a kompetence, které žák při řešení uplatňoval, ale i matematický obsah, nutný k formulaci matematické podstaty problému. Pro informaci je u každé úlohy uvedena správná odpověď a průměrná úspěšnost našich žáků i žáků zúčastněných zemí. Komentář za jednotlivými úlohami je možné chápat jako metodická doporučení pro práci učitele s tímto typem úloh.

Texty úloh najdete v kapitole 3. Matematická gramotnost v publikaci Gramotnosti ve vzdělávání, kterou si můžete stáhnout ZDE.


Anotované odkazy

Internetová platforma SCIENTIX (The community for science education in Europe) 

www.scientix.eu

Nová celoevropská internetová platforma pro výměnu zkušeností, sdílení příkladů dobré praxe a šíření informací z oblasti výuky matematiky, přírodních věd a technologií. Portál, který shromažďuje výukové materiály a vědecké studie vycházející z jednotlivých evropských projektů zaměřených na matematiku a přírodní vědy, je určen pro učitele, rodiče, vědecké pracovníky i úředníky. Portál iniciovaný Evropskou komisí spravuje organizace European Schoolnet (www.eun.org).

Metodický portál www.rvp.cz

Toto internetové médium nabízí množství teoretických a praktických výukových materiálů, vytváří on-line prostředí, ve kterém se mohou učitelé navzájem inspirovat a informovat o svých zkušenostech a poskytuje nabídku dalšího vzdělávání učitelů formou e-learningových kurzů. V samostatné sekci matematické gramotnosti lze najít informativní a odborné články k této problematice a inspirativní metodické materiály.

Netradiční úlohy. Matematická gramotnost v mezinárodním výzkumu PISA. Praha: ÚIV, 2006. ISBN 80-211-0522-4. Dostupné ZDE.

Publikace nabízí informace o koncepci výzkumu PISA, o pojetí matematické gramotnosti a seznamuje s výsledky žáků. Část publikace se věnuje matematickým úlohám, které byly používány při testování v rámci výzkumu PISA 2003. Úlohy jsou v této publikaci uvedeny v plném znění a jsou doplněny návodem na vyhodnocování žákovských odpovědí. U každé úlohy je uvedena i její obtížnost a úspěšnost žáků při jejím řešení.

Společnost učitelů matematiky Jednoty českých matematiků a fyziků (SUMA JČMF)

http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA

Stránky Společnosti učitelů matematiky JČMF poskytují aktuální informace o konferencích, seminářích, publikacích a dalších materiálech k podpoře matematického vzdělávání.

Tomášek V. a kol.: Výzkum TIMSS 2007 – Úlohy z matematiky a přírodovědy pro 4. ročník. Praha: ÚIV – Tauris, 2009. ISBN 978-80-211-0586-7. Dostupné ZDE.

Tomášek V. a kol.: Výzkum TIMSS 2007 – Úlohy z matematiky pro 8. ročník. Praha: ÚIV – Tauris, 2009. ISBN 978-80-211-0586-7. Dostupné ZDE.

Publikace nabízejí matematické úlohy, které byly použity při výzkumu TIMSS 2007 pro žáky 4. a 8. ročníku základní školy. U každé úlohy je uvedena její charakteristika, údaje o úspěšnosti žáků, návod k vyhodnocení úlohy a krátké komentáře ke způsobu řešení.

Ústav pro informace ve vzdělávání (ÚIV) 

www.uiv.cz

ÚIV je pověřen realizací mezinárodních výzkumů PISA a TIMSS v ČR. Na jeho stránkách lze najít veškeré informace o těchto šetřeních, informativní publikace o výsledcích českých žáků a publikace s úlohami použitými k testování matematické gramotnosti žáků.


___________________

(1) Definice PISA 2003, Koncepce matematické gramotnosti ve výzkumu PISA 2003, ÚIV, Praha.